در 1931 ریاضیدان و منطق دانی به نام گودل ثابت کرد که در یک سیستم رسمی (یک دستگاه اصل موضوعی) ، مساله هایی وجود دارند که با آن اصول موضوعه ای که سیستم تعریف می کند نمی توان آن ها را اثبات و یا رد کرد(غیر قابل تصمیم گیری اند). این تئوری تحت عنوان تئوری تصمیم نا پذیری گودل مشهور است.همچنین گودل ثابت کرد که در یک دستگاه اصل موضوعی به قدر کافی بزرگ که تصمیم گیری در مورد تمام سوال های موجود منطقی و قابل قبول است نیز تناقضاتی وجود دارد.این تئوری نیز به نام اصل ناتمامی مشهور است.

گودل در ادامه ی این اصول نشان داد که مساله هایی وجود دارند که با هیچ مجوعه ای از اصول و قوانین و روشها قابل اثبات نیستند.و به جای حل این مساله ها مجبوریم به طور مداوم اصول موضوعه ی خود را افزایش دهیم.که این بر خلاف یک باور رایج در آن زمان بود که تمام شاخه های ریاضی می توانند بر یک پایه ی منطقی استوار و یک پارچه گردند.

کمی بعد آلن تورینگ یک ساختار الگوریتمی برای تشریح نتایج گودل فراهم آوردکه عبارت است از: اعداد و توابعی وجود دارند که با هیچ ماشین منطقی ای قابل محاسبه نیستند.

اخیرا گرگوری کیتین ، ریاضیدانی که در آی بی ام کار میکند بر این موضوع که نتایج تورینگ و گودل ریاضی را محدود می کند تاکید دارد.

این اصول و همچنین اصل عدم قطعیت هایزنبرگ،و نظریه ی سیستم های آشوبناک از جمله موضوعاتی هستند که با وجود خدشه وارد کردن به مطلقیت علم سهم مهمی در پیشرفت آن داشته و خواهند داشت.

در آینده در مورد این گونه ریاضیات بیشتر صحبت خواهیم کرد.

کلید واژه ها:

اصول موضوعه:اصولی که یک علم بر روی آن پیش رفته و تمام نتایج بعدی ناشی از همان اصول است.

آشوب:ریاضیاتی جدید و غیر خطی که با مفاهیمی چون نظم مطلق در ریاضیات قدیم متناقض بوده و از متاثرات نظریه ی سیستمهای پیچیده است.